Tema I · Teoría Neoclásica de la Demanda · Guía de Estudio v3 (demostraciones con traducción profunda)
La versión legible y rigurosa: cada demostración viene desarmada paso a paso — la línea Dice (lo formal, intacto), la Traducción (qué significa), Para captarlo (por qué damos el paso y qué quiere decir cada palabra abstracta, con imágenes cotidianas) y un Ejemplo con números. El objetivo es que salgas entendiendo las pruebas, no memorizándolas.
Objetivo de la lección
Al terminar vas a poder: (1) enunciar y demostrar las consecuencias de los cinco axiomas; (2) reproducir la prueba del teorema de representación y explicar dónde entra cada hipótesis; (3) manejar el aparato diferencial —TMS por el teorema de la función implícita y el Hessiano orlado—; y (4) resolver ejercicios de cálculo y de demostración.
¿Por qué debo estudiar esto?
Porque es el ladrillo cero y porque el examen no pide solo "calcula": pide "demuestra que…". Cada axioma es la licencia de un paso posterior; saber por qué (con prueba) separa el 8 del 10. La continuidad te deja escribir \(u\); la no-saciedad hace que se gaste todo el ingreso; la convexidad hace única la elección y demostrable el bienestar (Tema IV).
Repaso exprés (herramientas + técnicas de prueba)
| Símbolo | Se lee | En cristiano |
|---|---|---|
| \(x\succeq y\) | "al menos tan bueno" | La preferencia débil (objeto primitivo). |
| \(x\succ y\ /\ x\sim y\) | "estrictamente mejor / indiferente" | \(\succ\): mejor y no al revés. \(\sim\): mutuamente \(\succeq\). |
| \(\succeq(x^0)\) | "mejor o igual que \(x^0\)" | \(\{x:x\succeq x^0\}\). Su forma (convexa o no) es la preferencia. |
| \(u(\cdot)\) | "utilidad" | Un número por canasta con \(u(x)\ge u(y)\Leftrightarrow x\succeq y\). |
| \(\text{TMS}\) | "tasa marginal de sustitución" | \(u_1/u_2\): bien 2 cedido por una unidad de bien 1, quedando igual. |
| \(\bar H\) | "Hessiano orlado" | El Hessiano bordeado con \(\nabla u\); su signo prueba cuasiconcavidad. |
| \(\mathbf 1,\ t\mathbf 1\) | "la diagonal" | \(\mathbf1=(1,\dots,1)\); \(t\mathbf1\) recorre la recta de 45°. |
| \(\mathbb{Q},\ \mathbb{R}\) | "racionales / reales" | \(\mathbb{Q}\): fracciones (numerables). \(\mathbb{R}\): todos los decimales (no numerables). |
| \(\square\ /\ \blacksquare\) | "fin de la demostración" | Marca que la prueba terminó. |
Cada prueba viene desarmada en cuatro pistas por paso. Léelas en este orden y no te saltes ninguna la primera vez:
Dice — la línea formal (la demostración de verdad, sin recortar). Traducción — qué significa esa línea en español llano. Para captarlo — por qué damos el paso y qué quiere decir cada palabra abstracta, con imágenes. Ejemplo — con números.
¿Ya lo dominas y solo quieres repasar para el examen? Lee únicamente las líneas Dice: son la prueba completa y rigurosa. Las otras pistas son andamiaje que puedes quitar cuando ya no lo necesites.
Alguien en el súper con dos carritos solo dice: "este me gusta al menos tanto como el otro". Esa señal, para todos los pares, es \(\succeq\). No pedimos un "medidor de placer".
\(\succeq\) es una relación binaria en \(\mathbb{R}^n_+\). Se derivan J–R, Def. 1.4, p. 7: \(\succeq(x^0)=\{x:x\succeq x^0\}\) (mejor o igual), \(\prec(x^0)\) (peor) y \(\sim(x^0)\) (indiferencia). Se definen \(x\succ y\) como "\(x\succeq y\) y no \(y\succeq x\)", y \(x\sim y\) como "\(x\succeq y\) y \(y\succeq x\)".
Empezar con \(\succeq\) es la decisión ordinalista (Pareto, Hicks): las comparaciones se observan; los números no. Pensar en preferencias = pensar en formas de los conjuntos \(\succeq(x^0)\).
Reto
Demuestra la tricotomía: para cualquier par, exactamente una de tres cosas ocurre: \(x\succ y\), \(x\sim y\) o \(y\succ x\).
Traducción del reto: ante dos canastas, siempre pasa una y solo una de: prefieres la primera, te dan igual, o prefieres la segunda. Por dónde empezar: usa completitud (al menos una de \(x\succeq y\), \(y\succeq x\) se cumple) y luego separa en casos según cuál(es) se cumpla(n); las definiciones de \(\succ\) y \(\sim\) hacen el resto.
Completitud: nunca se queda mudo ante un par. Transitividad: si prefiere café a té y té a agua, no puede preferir agua a café — o sería una "bomba de dinero" (se le saca dinero dando vueltas en el ciclo).
J–R, Axiomas 1–2, p. 5
Axioma 1 (Completitud). Para todo \(x,y\): \(x\succeq y\) o \(y\succeq x\).
Axioma 2 (Transitividad). Si \(x\succeq y\) y \(y\succeq z\), entonces \(x\succeq z\).
Demostración — la preferencia estricta \(\succ\) es transitiva
Desarma las hipótesis.
Encadena la parte débil.
Descarta el "regreso" por contradicción.
La prueba por contradicción es tu herramienta más usada: cuando quieres probar "no pasa X", supón que sí pasa y muestra que eso choca con algo que ya sabías. Aquí "X" es el regreso \(z\succeq x\); suponerlo revienta la hipótesis \(y\succ z\). Memoriza el molde: "supongamos que sí… entonces… pero eso contradice… luego no."
∎
Completitud + transitividad son la base del Teorema 1.1 (§6). Sin transitividad, un ciclo \(x\succ y\succ z\succ x\) no se puede etiquetar con números.
Reto
Demuestra que la indiferencia \(\sim\) es transitiva: si \(x\sim y\) y \(y\sim z\), entonces \(x\sim z\).
Traducción del reto: si te dan igual A y B, y te dan igual B y C, entonces te dan igual A y C. Por dónde empezar: recuerda que \(x\sim y\) son dos desigualdades (\(x\succeq y\) y \(y\succeq x\)). Aplica transitividad de \(\succeq\) en cada dirección por separado y junta.
Si canastas "al menos tan buenas como \(x\)" se acercan a un límite, ese límite también es al menos tan bueno. No hay "traiciones en el último milímetro".
J–R, Axioma 3, p. 8 (Continuidad). Para todo \(x\), los conjuntos \(\succeq(x)\) y \(\preceq(x)\) son cerrados en \(\mathbb{R}^n_+\). Equivale a: si \(y_n\succeq x\) para todo \(n\) y \(y_n\to y\), entonces \(y\succeq x\).
Es el axioma topológico: casi no habla de gusto, solo evita saltos. El mejor modo de entender qué compra es ver quién lo viola: las preferencias lexicográficas.
Demostración — las preferencias lexicográficas no admiten función de utilidad
En cada "columna" \(r\), tener un poquito del bien 2 ya mejora.
¿Por qué "fabricamos" \(q\)? No podemos revisar "todas las utilidades posibles" para ver que ninguna sirve: son infinitas. Así que hacemos el truco de detective: suponemos que el sospechoso existe (una \(u\) que sí funciona) y seguimos el rastro que tendría que dejar hasta mostrar que ese rastro es imposible. \(q\) es ese rastro: una función que no venía en el problema, la construimos con las piezas de \(u\), a propósito para que en el paso 3 se estrelle. "Función auxiliar" = ayudante que inventamos solo para la prueba.
¿Qué es "un racional entre dos reales"? Un racional es un número que se escribe como fracción: \(2.5=\tfrac52\) sí; \(\pi=3.14159\ldots\) no. "Siempre cabe uno entre dos reales distintos": por más pegados que estén dos decimales, entre ellos hay una fracción. Entre \(2.3\) y \(2.8\) está \(2.5\); entre \(2.71\) y \(2.72\) está \(2.715\); entre \(2.7180\) y \(2.7181\) está \(2.71805\). Nunca se acaban "en lo chiquito" (los racionales son densos).
¿Por qué justo una fracción, no cualquier número? Astucia con vista al final: en el paso 3 vamos a contar, y hay pocas fracciones y muchísimos reales. Elegir fracción ahora es tenderle la trampa al paso 3.
Columnas más a la derecha tienen etiqueta más grande.
"Lexicográfico" = como el diccionario. Para ordenar palabras, primero miras la primera letra; solo si empatan, miras la segunda. Aquí igual: manda el bien 1, y el bien 2 solo desempata. Por eso \((2,0)\) le gana a \((1,1000)\): \(2>1\) en el primer bien y punto. Consecuencia: \(q\) es estrictamente creciente (siempre sube, nunca repite).
No alcanzan las fracciones: ahí está el imposible.
"Inyectiva" no da miedo: solo quiere decir "no repite" — a cada entrada, una salida distinta. Como \(q\) siempre sube, nunca da la misma fracción a dos columnas.
Hay infinitos de distinto tamaño (la clave). Las fracciones se pueden "formar en fila" y numerar: la 1ª, la 2ª, la 3ª… (se les llama numerables). Los reales (todos los decimales, con colas infinitas) no caben en ninguna lista: siempre se te escapa uno (son no numerables, "más"). Un infinito más grande que otro.
Por qué es el muro: \(q\) pretende dar a cada real su propia fracción sin repetir. Es como sentar a un estadio lleno (los reales, un gentío continuo) en una fila de sillas numeradas (las fracciones): por más sillas, sobra gente. Contradicción.
Cierre.
Lo que falló es que estas preferencias dan un salto: el bien 1 aplasta de golpe cualquier cantidad del bien 2. La continuidad (Axioma 3) es exactamente la regla que prohíbe esos saltos — por eso, cuando la exigimos, patologías como esta desaparecen y sí se puede construir \(u\) (Teorema 1.1). ∎
Sin continuidad no hay \(u\) continua; sin \(u\) continua, Weierstrass (Módulo 0, 0.3) no garantiza canasta óptima. Es el primer eslabón hacia "existe la demanda".
Reto
Muestra directamente que las lexicográficas violan el Axioma 3.
Traducción del reto: encuentra una sucesión de canastas todas "al menos tan buenas como \(x\)" que se acerque a un límite que sí es peor que \(x\) (ahí se rompe "el conjunto es cerrado"). Por dónde empezar: fija \(x=(1,1)\) y acércate por la izquierda con \(y_n=(1+\tfrac1n,\,0)\); revisa si cada \(y_n\succeq x\) y qué pasa con el límite \((1,0)\).
No-saciedad local: por más contento que estés, siempre hay una canasta arbitrariamente cercana que prefieres. Monotonía estricta: más de todo te deja estrictamente mejor.
J–R, Axiomas 4′ y 4, pp. 9–10
Axioma 4′ (No-saciedad local, LNS). Para todo \(x^0\) y todo \(\varepsilon>0\), existe \(x\in B_\varepsilon(x^0)\) con \(x\succ x^0\).
Axioma 4 (Monotonía estricta). \(x^0\ge x^1\Rightarrow x^0\succeq x^1\); \(x^0\gg x^1\Rightarrow x^0\succ x^1\).
Demostración — no-saciedad local ⟹ el consumidor gasta todo el ingreso
Supón que sobra dinero.
La no-saciedad ofrece algo mejor cerquita.
Ese "algo mejor" todavía cabe en el presupuesto.
La idea con una imagen: imagina que compraste y te sobraron $20. Como "siempre quieres un poquito más" (LNS) y $20 alcanzan para ese "poquito", te conviene gastarlos → tu compra original no era la mejor. La continuidad de \(p\cdot x\) es la que garantiza que un cambio pequeño de canasta solo cambia el gasto por poquito (no de golpe), así que el colchón de $20 no se rompe.
∎
"Se gasta todo" vuelve \(p\cdot x\le m\) en la igualdad \(p\cdot x=m\): base de Lagrange en I.2 y del Primer Teorema del Bienestar (Tema IV). A este resultado se le llama Ley de Walras a nivel individual.
Reto
Demuestra que monotonía estricta ⟹ no-saciedad local (y convéncete de que el recíproco no vale).
Traducción del reto: si "más de todo es mejor", entonces cerca de cualquier canasta hay algo preferido. Por dónde empezar: dado \(x^0\) y un \(\varepsilon>0\), construye una canasta a distancia menor que \(\varepsilon\) con un poquito más de todos los bienes (p. ej. suma \(\varepsilon/2n\) a cada coordenada) y aplica monotonía estricta.
Si te da igual "10 tacos y 0 refrescos" que "0 y 10", la mezcla "5 y 5" debería gustarte al menos tanto (convexidad) o más (estricta). Amar la variedad = curvas de indiferencia abombadas hacia el origen.
J–R, Axiomas 5′ y 5, pp. 11–12
Axioma 5′ (Convexidad). Si \(x^1\succeq x^0\) entonces \(tx^1+(1-t)x^0\succeq x^0\), \(t\in[0,1]\).
Axioma 5 (Estricta). Si \(x^1\neq x^0\) y \(x^1\succeq x^0\) entonces \(tx^1+(1-t)x^0\succ x^0\), \(t\in(0,1)\).
Demostración — convexidad de \(\succeq\) ⟺ cuasiconcavidad de \(u\)
\(u\) es cuasicóncava si al mezclar dos canastas el resultado no es peor que la peor de las dos: \(u(\text{mezcla})\ge\min\{u(x),u(y)\}\). El \(\min\) ("el menor de los dos") aparece porque solo pedimos no caer por debajo del piso que ponen las dos canastas. En imagen: los conjuntos "de aquí para arriba" \(\{u\ge k\}\) son convexos (sin abolladuras) — que es justo "preferencias convexas".
Ida (⇒): de preferencias convexas a \(u\) cuasicóncava.
Vuelta (⇐): de \(u\) cuasicóncava a preferencias convexas.
Por qué probar "las dos direcciones". Un "⟺" (si y solo si) afirma que dos cosas son equivalentes. Para eso hay que mostrar que cada una implica la otra: si solo probaras "⇒", podría pasar que \(u\) cuasicóncava sin preferencias convexas. La técnica clave —traducir con el puente \(\succeq\leftrightarrow u\)— es la misma de casi todo I.1.
∎
Sobre una curva de indiferencia \(u(x_1,x_2)=k\), el diferencial total es \(u_1\,dx_1+u_2\,dx_2=0\). Si \(u_2\neq0\) (teorema de la función implícita), la pendiente es \(\dfrac{dx_2}{dx_1}=-\dfrac{u_1}{u_2}\), y
$$\text{TMS}=\Big|\tfrac{dx_2}{dx_1}\Big|=\frac{u_1}{u_2}.$$
TMS decreciente (condición de segundo orden = cuasiconcavidad) se prueba con el Hessiano orlado: \(\det\bar H=2u_1u_2u_{12}-u_2^2u_{11}-u_1^2u_{22}\ge0\). Para \(u=x^{a}y^{b}\): \(\det\bar H=ab(a+b)\,x^{3a-2}y^{3b-2}>0\).
La idea: sobre una curva de indiferencia la utilidad no cambia. Si te mueves un pasito \(dx_1\) en el bien 1, tienes que compensar con un \(dx_2\) en el bien 2 para seguir igual de contento. "Seguir igual" en fórmula es \(u_1\,dx_1+u_2\,dx_2=0\) (la utilidad ganada por un lado se cancela con la perdida por el otro). Despejando la razón de intercambio \(dx_2/dx_1\) sale \(-u_1/u_2\). El signo menos es porque subes uno y bajas el otro; la TMS es su tamaño (valor absoluto). El \(u_2\neq0\) del teorema de la función implícita solo pide que el bien 2 "sí importe" en el margen (si no, no podrías compensar con él).
Aquí se cobran 0.1, 0.3 y el Anexo A: "convexa" \(=\) "cuasicóncava" \(=\) "TMS decreciente". La TMS no es una definición aparte: es la pendiente de la curva de nivel. El Hessiano orlado es la prueba mecánica de que la curva se abomba del lado correcto.
Reto
(a) Demuestra que convexidad estricta ⟹ \(\succeq(x^0)\) es estrictamente convexo (sin tramos rectos). (b) Calcula \(\det\bar H\) para \(u=x^{1/2}y^{1/2}\) y verifica que es \(>0\).
Traducción del reto: (a) que las curvas de indiferencia no tengan segmentos rectos; (b) confirmar con la fórmula que la Cobb–Douglas es cuasicóncava. Por dónde empezar: (a) toma dos puntos distintos del conjunto "mejor o igual" y aplica el Axioma 5 a su mezcla; (b) usa \(\det\bar H=ab(a+b)x^{3a-2}y^{3b-2}\) con \(a=b=\tfrac12\).
La utilidad es la altitud en un mapa: los números de las curvas de nivel dicen qué es más alto, pero el cero es convención. Probaremos que esa "altitud" siempre se puede asignar de forma continua bajo los axiomas.
Teorema 1.1 (Existencia) J–R, p. 14. Si \(\succeq\) es completa, transitiva, continua y estrictamente monótona, existe \(u:\mathbb{R}^n_+\to\mathbb{R}\) continua que la representa. Teorema 1.2 (Ordinalidad) J–R, p. 17: si \(u\) representa a \(\succeq\) y \(f\) es estrictamente creciente, \(f(u)\) representa las mismas preferencias.
Demostración del Teorema 1.1 — construcción por la diagonal
La diagonal es el conjunto de canastas parejas: \((t,t,\dots,t)\) para \(t\ge0\) — la misma cantidad de todos los bienes. La llamamos \(t\mathbf1\). Sirve como una regla graduada: si subo por la diagonal, por monotonía voy mejorando sin ambigüedad. La jugada es "colgar" cada canasta \(x\) del punto de la diagonal que le empata, y usar ese \(t\) como su calificación.
Preparación: parte la diagonal en dos.
La regla entera queda cubierta.
Existe el empate (aquí entra la continuidad).
Por qué la continuidad es imprescindible aquí. "\([0,\infty)\) es conexo" quiere decir que es una línea de una sola pieza, sin huecos. Si el "al menos tan bueno" y el "no mejor" fueran cerrados (sin saltos) y juntos cubren toda la línea, no pueden encajar como dos piezas separadas: tienen que solaparse en al menos un punto — el empate. Si hubiera un salto (como en las lexicográficas), la línea se partiría sin punto de contacto y no habría empate: por eso ahí no se puede definir \(u\). Este paso es el corazón del teorema.
El empate es único (monotonía estricta).
La calificación respeta el orden.
La calificación es continua.
∎
Cada axioma "compró" un paso: completitud/monotonía cubren la diagonal (2), continuidad da el empate (3), monotonía estricta lo hace único (4). El Teorema 1.2 es la moraleja: como \(f(u)\) sirve igual, la concavidad de \(u\) no es observable (Anexo A) pero la cuasiconcavidad sí.
Reto
Demuestra el Teorema 1.2: si \(u\) representa \(\succeq\) y \(f\) es estrictamente creciente, entonces \(f(u)\) también.
Traducción del reto: reetiquetar la utilidad con una función que respeta el orden (como \(\ln\), o "\(+7\)") no cambia las preferencias. Por dónde empezar: escribe la cadena \(x\succeq y\Leftrightarrow u(x)\ge u(y)\Leftrightarrow f(u(x))\ge f(u(y))\); la última equivalencia es justo "\(f\) estrictamente creciente".
El "bestiario" que reaparece en I.2–I.5. La TMS sale siempre de \(u_1/u_2\) (función implícita, §5). Varian, cap. 7
| Familia | \(u(x,y)\) | TMS \(=u_x/u_y\) | Rasgo clave |
|---|---|---|---|
| Cobb–Douglas | \(x^{a}y^{b}\) | \(\dfrac{a}{b}\dfrac{y}{x}\) | Gasto en cada bien = fracción fija del ingreso |
| Sustitutos perfectos | \(ax+by\) | \(\dfrac{a}{b}\) (constante) | Solución de esquina (salvo empate) |
| Complementos perfectos | \(\min\{ax,by\}\) | indefinida en el vértice | Proporción fija \(ax=by\) |
| CES | \((x^{\rho}+y^{\rho})^{1/\rho}\) | \((x/y)^{\rho-1}\) | Elasticidad \(\sigma=\dfrac{1}{1-\rho}\); engloba a las demás |
| Cuasilineal | \(v(x)+y\) | \(v'(x)\) (solo depende de \(x\)) | Sin efecto ingreso sobre \(x\) |
Por qué estas cinco. Cubren el espectro de sustituibilidad: sustitutos (rectas) y complementos (L) son los extremos; la CES es el dial (\(\rho\to1\): sustitutos; \(\rho\to0\): Cobb–Douglas; \(\rho\to-\infty\): complementos); la cuasilineal es el caso sin efecto ingreso (clave para bienestar en I.5). Domínalas y I.2–I.5 se vuelven mecánicas.
Todo I.1 colapsa en: los axiomas convierten "gustos" en una \(u\) manejable, y cada axioma es la licencia —demostrable— de un paso futuro.
Y el reverso: si la convexidad falla, la elección puede no ser única ni sostenible con precios — la puerta a los fallos de mercado. En I.1 plantaste y demostraste las condiciones; en I.2 las cosechas como demanda.
Mezcla de cálculo y demostración (los marcados así). Tapa la solución, intenta, compara. Lee el CÓMO, el POR QUÉ/LA TÉCNICA y la REFERENCIA.
\(u_x=y,\ u_y=x\Rightarrow\text{TMS}=\dfrac{y}{x}\). En \((2,3)\): \(\dfrac{3}{2}=1.5\).
La TMS es \(u_x/u_y\) porque es la pendiente de la curva de indiferencia (función implícita, §5). \(1.5\) = una unidad más de \(x\) "vale" \(1.5\) de \(y\).
Jehle–Reny, §1.2, p. 12; Varian, cap. 7.
\(u_x=2,\ u_y=1\Rightarrow\text{TMS}=2\), constante: curvas de indiferencia rectas de pendiente \(-2\).
Al ser \(u\) lineal, las utilidades marginales son constantes. Anticipa demanda de esquina en I.2.
Jehle–Reny, §1.2; Varian, cap. 7.
\(x\succ y\Rightarrow x\succeq y\); \(y\succ z\Rightarrow y\succeq z\). Transitividad: \(x\succeq z\). Falta no \(z\succeq x\): si \(z\succeq x\), con \(x\succeq y\) da \(z\succeq y\), contradiciendo \(y\succ z\). Luego \(x\succ z\). \(\square\)
Por contradicción sobre el "regreso" \(z\succeq x\), traduciendo \(\succ\) a \(\succeq\) + su negación. (Detalle completo en §2.)
Jehle–Reny, §1.2, Axiomas 1–2, p. 5.
\(v=\ln(xy)=\ln u\), \(\ln\) creciente ⇒ (Teorema 1.2) mismas preferencias. TMS de \(u\): \(y/x\); de \(v\): \(\dfrac{1/x}{1/y}=y/x\). Iguales.
La TMS es ordinal: invariante a transformaciones crecientes. Por eso la concavidad no es observable pero la TMS sí.
Jehle–Reny, Teorema 1.2, p. 17.
Supón \(p\cdot x^\ast<m\). Por LNS hay \(x\in B_\varepsilon(x^\ast)\) con \(x\succ x^\ast\). Como \(p\cdot x\) es continua y \(p\cdot x^\ast<m\), con \(\varepsilon\) chico ese \(x\) cumple \(p\cdot x<m\): asequible y preferido ⇒ \(x^\ast\) no óptimo. Contradicción. Luego \(p\cdot x^\ast=m\). \(\square\)
Por contradicción: "si sobra dinero, LNS + continuidad de \(p\cdot x\) fabrican algo mejor y asequible". (Detalle completo en §4.)
Jehle–Reny, §1.2–1.3; Mas-Colell–Whinston–Green, cap. 2–3.
Fórmula general: \(\det\bar H=ab(a+b)x^{3a-2}y^{3b-2}\). Con \(a=b=\tfrac12\): \(\det\bar H=\tfrac14 x^{-1/2}y^{-1/2}=\dfrac{1}{4\sqrt{xy}}>0\) ⇒ cuasicóncava. TMS \(=y/x\): en \((2,18),(6,6),(9,4)\) da \(9,1,\tfrac49\) — decrece.
\(\det\bar H>0\) es la condición de segundo orden de cuasiconcavidad; equivale a TMS decreciente = curvas de indiferencia convexas.
Jehle–Reny, §1.2, p. 12; Módulo 0, Anexo A.
(⇒) \(u(x)\ge u(y)\Rightarrow x\succeq y\); por 5′, \(tx+(1-t)y\succeq y\Rightarrow u(tx+(1-t)y)\ge u(y)=\min\). (⇐) \(x\succeq y\Rightarrow u(x)\ge u(y)\); cuasiconcavidad da \(u(tx+(1-t)y)\ge u(y)\Rightarrow tx+(1-t)y\succeq y\) = 5′. \(\square\)
Traducir \(\succeq\leftrightarrow u\) en ambos sentidos (es un "⟺", hay que probar las dos direcciones). Detalle en §5.
Jehle–Reny, §1.2, pp. 11–13; Mas-Colell–Whinston–Green, cap. 3; Anexo A.
\(\text{TMS}=(x/y)^{\rho-1}=(y/x)^{1-\rho}\). \(\rho\to0\): \(\to y/x\) (Cobb–Douglas). \(\rho\to1\): \(\to1\) (sustitutos). Elasticidad \(\sigma=\dfrac{1}{1-\rho}\); con \(\rho=\tfrac12\), \(\sigma=2\).
\(\rho\) controla \(\sigma\) (qué tan fácil se cambia un bien por otro). Un parámetro, todo el espectro.
Jehle–Reny, cap. 1; Varian, cap. 7.
Supón \(u\). Para cada \(r\): \((r,1)\succ(r,0)\Rightarrow u(r,1)>u(r,0)\); elige racional \(q(r)\in(u(r,0),u(r,1))\). Si \(r<r'\): \((r',0)\succ(r,1)\Rightarrow q(r')>q(r)\). Entonces \(q:[0,\infty)\to\mathbb{Q}\) es estrictamente creciente ⇒ inyectiva: imposible (no numerable → numerable). \(\square\)
Cardinalidad: fabricar una inyección de \(\mathbb{R}\) en \(\mathbb{Q}\) es la contradicción. (Desarrollo completo y desmenuzado en §3.)
Jehle–Reny, §1.2, p. 8; Mas-Colell–Whinston–Green, cap. 3; Debreu (1959), cap. 4.
Supón dos óptimos \(x^\ast\neq x^{\ast\ast}\). Ambos maximizan ⇒ \(x^\ast\sim x^{\ast\ast}\). La mezcla \(z=\tfrac12 x^\ast+\tfrac12 x^{\ast\ast}\) es asequible (\(p\cdot z=\tfrac12 m+\tfrac12 m=m\)) y, por convexidad estricta, \(z\succ x^{\ast\ast}\): asequible y mejor que el óptimo ⇒ contradicción. Único. \(\square\)
La estricta convexidad "premia el promedio": dos óptimos harían que su punto medio (asequible, por presupuesto lineal) fuera mejor. Puente exacto a la unicidad de la demanda en I.2.
Jehle–Reny, §1.2–1.3, pp. 11–22; Módulo 0 (0.3–0.4, Anexo A).
Mezcla de cálculo y demostración. Mándame el proceso completo. Rúbrica: enunciado correcto + cada paso justificado + cita del axioma/teorema usado + sin saltos. Diagnostico causa raíz de cada error.
Con \(u=x^{3}y\), calcula la TMS en \((1,1)\) e interprétala.
Demuestra que la indiferencia \(\sim\) es transitiva (usa completitud y transitividad de \(\succeq\)).
Con \(u=x^{1/4}y^{3/4}\), halla la TMS y evalúala en \((2,2)\). ¿Qué bien "pesa" más?
Demuestra el Teorema 1.2: si \(u\) representa \(\succeq\) y \(f\) es estrictamente creciente, entonces \(f\circ u\) representa \(\succeq\).
Audita los cinco axiomas para \(u=\sqrt{x}+\sqrt{y}\): ¿continua?, ¿monótona estricta?, ¿convexa (estricta)? Justifica (para convexidad, usa el Hessiano orlado).
Para \(u=x^{1/3}y^{2/3}\), calcula \(\det\bar H\) con la fórmula general y concluye cuasiconcavidad; verifica TMS decreciente sobre una curva de indiferencia.
Para \(u=\min\{2x,3y\}\): describe las curvas, ubica el vértice, explica por qué la TMS no existe ahí y di qué axiomas cumple (¿monotonía estricta?, ¿convexidad estricta?).
CES con \(\rho=-1\): escribe la TMS explícita y la elasticidad \(\sigma\). ¿A qué caso se parece más (sustitutos o complementos)?
Demuestra que monotonía estricta ⟹ las curvas de indiferencia no tienen tramos con pendiente positiva.
(a) Reproduce la prueba del Teorema 1.1 (construcción por la diagonal) señalando dónde se usa cada axioma. (b) Explica qué paso falla exactamente para las lexicográficas.
Simulacro con los tres tipos de pregunta que suelen caer: teórica, cálculo y demostración. Intenta a libro cerrado y luego contrasta.
1 Completitud (todo par es comparable — prohíbe "no sé"). 2 Transitividad (sin ciclos — prohíbe la bomba de dinero). 3 Continuidad (\(\succeq(x),\preceq(x)\) cerrados — prohíbe saltos/inversiones en el límite). 4 Monotonía/no-saciedad (más es mejor / nunca saciado — prohíbe zonas de indiferencia gruesas y que sobre el presupuesto). 5 Convexidad (gusto por promedios — prohíbe curvas de indiferencia "abolladas"; la estricta prohíbe tramos rectos).
Jehle–Reny, §1.2, pp. 5–13.
(i) \(\text{TMS}=\dfrac{a}{1-a}\dfrac{y}{x}\). (ii) Con \(b=1-a\), \(\det\bar H=a(1-a)\,x^{3a-2}y^{1-3a}>0\) ⇒ cuasicóncava. (iii) Sobre \(u=k\), \(y\) baja cuando \(x\) sube, así que \(\dfrac{y}{x}\) —y la TMS— decrece.
Jehle–Reny, §1.2, p. 12; Anexo A.
Dos óptimos \(x^\ast\neq x^{\ast\ast}\) serían indiferentes. Su promedio \(z\) cumple \(p\cdot z=m\) (linealidad ⇒ asequible) y \(z\succ x^{\ast\ast}\) (convexidad estricta): asequible y mejor que el óptimo ⇒ contradicción. Único. \(\square\)
Jehle–Reny, §1.2–1.3; Módulo 0 (0.3–0.4).
La guía es la "versión traducida" con las pruebas desmenuzadas; el rigor completo y las variantes están en: