Protocolo Reality Forge · Preparación de Curso
Posgrado en Economía, UNAM · Formación disciplinaria · 6 créditos · 48 h teóricas · Sin seriación.
Construida a partir del programa oficial de la actividad académica y del programa de Matemáticas I.
Primera corrección, porque de aquí sale todo lo demás: este NO es un curso de teoría de precios tipo Varian intermedio (elasticidades, excedente del consumidor, monopolio). Quien entra esperando eso queda desarmado en la semana 3.
El objetivo general del programa lo dice sin anestesia: el curso trata de por qué la teoría del equilibrio general se escribe en lenguaje matemático y de la pregunta que la fundó — ¿existe el equilibrio? — resuelta apenas en 1954. Es un curso sobre la existencia, unicidad y estabilidad del equilibrio general competitivo, contado desde su historia (Viena, 1930s) hasta su demostración (Arrow–Debreu), y cerrado con los casos donde el propio aparato admite que falla (externalidades, bienes públicos, información asimétrica).
Traducción de "el profesor es riguroso por su formación matemática": la moneda de cambio del curso será topología de conjuntos, análisis convexo, correspondencias y teoremas de punto fijo, y el examen — según el propio programa — pedirá explícitamente demostraciones. No basta con "entender la intuición". Hay que reproducir pruebas.
Exámenes parciales + examen final escrito + tareas + exposición de seminarios + participación. El programa sugiere un examen final con tres tipos de pregunta, del cual eliges de al menos dos grupos:
| Grupo | Qué mide | Dónde se gana o se pierde |
|---|---|---|
| Teóricas | Concepto + epistemología | Explicar el por qué, no recitar. Blaug / Weintraub / Ackerman viven aquí. |
| Ejercicios numéricos | Cálculo de equilibrios concretos | Caja de Edgeworth, EG con Cobb–Douglas, condición de Samuelson, mercado de limones. |
| Demostraciones | Rigor formal | El territorio del profesor. Aquí decide quién aprueba con soltura. Ver §5. |
Regla táctica: aunque puedas elegir dos grupos, un profesor matemático pondera de facto las demostraciones. Preparar solo teóricas + numéricas es apostar a que no te toque lo que a él le importa. Prepara los tres; domina el arsenal de §5.
Tu curso de Matemáticas I corre en paralelo y te da parte del arsenal — pero no todo. Aquí está la reconciliación exacta, para que sepas qué ya tienes cubierto y qué debes robar por tu cuenta antes de que Micro lo dé por sabido.
| Herramienta de Mates I | Para qué la usa Micro I |
|---|---|
| Espacios lineales, \(\mathbb{R}^n\), bases (U1–U2) | Espacio de mercancías \(\mathbb{R}^L\); precios como funcional lineal. |
| Valores/vectores propios, diagonalización (U2) | Estabilidad local del tâtonnement (signo de las partes reales de los eigenvalores del jacobiano de exceso de demanda). |
| Conjuntos convexos, símplex, teoremas de separación (U3) | Columna vertebral. El símplex de precios y el Segundo Teorema del Bienestar se sostienen sobre el hiperplano separador (Minkowski). |
| Ecuaciones diferenciales, diagramas de fase (U4) | Dinámica del tâtonnement walrasiano \(\dot p = z(p)\); estabilidad global. |
| Kuhn–Tucker, funciones cóncavas/cuasicóncavas, gradientes, función implícita (U6) | Optimización del consumidor y del productor; existencia y diferenciabilidad de la demanda. |
Lo que Mates I NO te da y Micro I necesita — adquiérelo tú. Este es el hueco que hunde a la gente. Nada de esto está en el temario de Mates I, pero la Unidad 2 lo asume:
Entregable de la semana 1: una hoja de una cara con los enunciados precisos de Weierstrass, Brouwer, Kakutani y Berge, y bajo cada uno la frase "lo uso en Micro para ___". Si no puedes llenar el blanco, no lo entendiste.
16 h teóricas. Es la unidad "de narrativa", pero un profesor riguroso la usa para exigir precisión: fechas, autores y por qué cada intento fracasó o avanzó.
Walras (1874) escribe el sistema de equilibrio general y "demuestra" su existencia contando ecuaciones e incógnitas: mismo número, luego hay solución. Ese argumento es falso — y detectar por qué es el corazón de la unidad. Contar ecuaciones no garantiza (a) que exista solución, (b) que sea única, (c) que los precios y cantidades salgan no negativos. Un sistema puede tener igual número de ecuaciones e incógnitas y no tener solución real, o tenerla con precios negativos (económicamente absurdos).
Bajo Karl Menger (Coloquio Matemático de Viena, 1928–1936) se ataca el problema formalmente:
Las "tres soluciones" del temario (Wald, von Neumann, Leontief) son tres respuestas distintas a la misma pregunta de existencia: la rigurosa-restrictiva, la del punto fijo, y la lineal-empírica. Debes poder decir en dos frases qué aportó y qué limitó cada una.
Por qué el lenguaje matemático (Blaug, The Methodology of Economics): la formalización obliga a explicitar supuestos y hace refutable la afirmación de existencia. Y la crítica (Ackerman, "Still Dead After All These Years"; Weintraub, General Equilibrium Analysis: Studies in Appraisal): demostrar que el equilibrio existe no dice nada de que sea único, estable ni alcanzable — y ahí es donde el programa te lleva de la mano hacia la crítica de la economía política del IIEc.
16 h. El núcleo duro y la unidad más peligrosa. Referencia exacta: Arrow, K.J. & Debreu, G. (1954), "Existence of an Equilibrium for a Competitive Economy", Econometrica 22(3), 265–290. McKenzie lo demostró de forma independiente el mismo año.
Una mercancía se define por sus características físicas, su ubicación, su fecha y — la gran extensión de Debreu — el estado de la naturaleza (bienes contingentes). Con \(L\) mercancías, una cesta es \(x\in\mathbb{R}^L\) y el sistema de precios es un funcional lineal \(p\in\mathbb{R}^L_+\), con valor \(p\cdot x=\sum_{\ell}p_\ell x_\ell\). Toda la teoría de incertidumbre y tiempo se "esconde" ampliando el índice de mercancías: elegante y letal a la vez (requiere mercados completos para todo estado y fecha — la grieta por donde entra la Unidad 3).
Cada consumidor \(i\) tiene conjunto de consumo \(X_i\subseteq\mathbb{R}^L\) y preferencias \(\succeq_i\). Axiomas que debes saber enunciar con precisión y saber para qué sirve cada uno:
| Axioma | Enunciado | ¿Para qué? |
|---|---|---|
| Completitud | \(\forall x,y:\ x\succeq y\) o \(y\succeq x\) | Toda cesta es comparable. |
| Transitividad | \(x\succeq y,\ y\succeq z\Rightarrow x\succeq z\) | Racionalidad; evita ciclos. |
| Continuidad | Conjuntos \(\{x:x\succeq y\}\) y \(\{x:y\succeq x\}\) cerrados | Representación por utilidad continua (T. de Debreu) y existencia de óptimo (Weierstrass). |
| Convexidad | \(\{x:x\succeq y\}\) convexo (cuasiconcavidad de \(u\)) | Demanda de valor convexo ⇒ habilita Kakutani; gustos por la diversificación. |
| Monotonía / no saciedad local | Más es mejor (o hay algo mejor arbitrariamente cerca) | Ley de Walras (se gasta todo el ingreso) y Primer T. del Bienestar. |
Problema del consumidor: \(\max_{x_i\in X_i} u_i(x_i)\) sujeto a \(p\cdot x_i \le w_i\), con riqueza \(w_i=p\cdot\omega_i+\sum_j\theta_{ij}\pi_j(p)\) (dotación + participaciones en beneficios). La solución es la demanda walrasiana \(x_i(p,w_i)\), que es una correspondencia hemicontinua superior (Berge), homogénea de grado 0 en \((p,w)\) y satisface la restricción con igualdad bajo no saciedad local.
Cada firma \(j\) tiene conjunto de producción \(Y_j\subseteq\mathbb{R}^L\) (con convención: insumos negativos, productos positivos). Supuestos típicos y su papel:
Problema de la firma: \(\max_{y_j\in Y_j} p\cdot y_j\). Solución: oferta \(y_j(p)\) y beneficio \(\pi_j(p)\), ambos homogéneos (grado 1 el beneficio, grado 0 la oferta).
Primer Teorema del Bienestar (FWT). Si \(\big((x_i^*),(y_j^*),p^*\big)\) es un equilibrio walrasiano y las preferencias cumplen no saciedad local, entonces la asignación es Pareto-óptima.
Arquitectura de la prueba (memorízala): por contradicción. Si existiera una asignación factible que Pareto-mejora, entonces (i) toda cesta preferida por \(i\) a \(x_i^*\) cuesta más: \(p^*\cdot x_i > p^*\cdot x_i^*\); (ii) toda cesta indiferente-o-mejor cuesta al menos lo mismo (aquí entra la no saciedad local). Sumando sobre consumidores y usando factibilidad + maximización de beneficios, se llega a \(p^*\cdot(\text{agregado}) > p^*\cdot(\text{agregado})\): contradicción. Solo usa desigualdades presupuestales, no convexidad.
Segundo Teorema del Bienestar (SWT). Con convexidad de preferencias y conjuntos de producción, toda asignación Pareto-óptima puede sostenerse como un equilibrio de precios con transferencias.
Arquitectura: el conjunto de asignaciones "mejores para todos" es convexo; el de las factibles también; son disjuntos (por optimalidad). El teorema del hiperplano separador de Minkowski (¡el de tu Mates I, U3!) entrega un vector de precios \(p^*\) que separa ambos conjuntos. Ese \(p^*\) es el sistema de precios que descentraliza el óptimo. La convexidad es indispensable aquí — sin ella el hiperplano puede no existir.
Bienestar social: función de bienestar de Bergson–Samuelson \(W(u_1,\dots,u_I)\); el óptimo social es un punto sobre la frontera de posibilidades de utilidad. Conecta con Arrow (imposibilidad) si el profesor lo introduce — pregúntate si lo cubrirá.
Equilibrio walrasiano: \((x_i^*),(y_j^*),p^*)\) tal que cada consumidor maximiza utilidad, cada firma maximiza beneficio y los mercados se vacían: \(\sum_i x_i^* \le \sum_i\omega_i+\sum_j y_j^*\), con igualdad en bienes de precio positivo.
Existencia — la arquitectura que un profesor riguroso te pedirá reproducir.
Define la demanda excedente agregada \(z(p)=\sum_i x_i(p)-\sum_i\omega_i-\sum_j y_j(p)\). Tiene tres propiedades clave:
El truco del punto fijo: se construye una regla de ajuste de precios \(g:\Delta\to\Delta\) que sube el precio de los bienes con exceso de demanda: \(g_\ell(p)\propto p_\ell+\max\{0,z_\ell(p)\}\), renormalizada. Es continua y va del símplex al símplex ⇒ por Brouwer tiene punto fijo \(p^*\). Se prueba (usando la Ley de Walras) que en \(p^*\) el exceso de demanda es \(\le 0\) en todo bien y \(=0\) donde \(p^*_\ell>0\): eso es el equilibrio. Cuando la demanda es correspondencia (preferencias débilmente convexas), la regla es una correspondencia y se usa Kakutani en lugar de Brouwer. Esa es la razón de ser de Kakutani en el paper de 1954.
Unicidad y estabilidad — el giro crítico del curso (subtema 2.9).
Unicidad: el equilibrio es único bajo condiciones fuertes — sustitutos brutos (todos los bienes se sustituyen), o WARP a nivel agregado, o vía el teorema del índice (Dierker, Poincaré–Hopf: la suma de índices de los equilibrios es \(+1\), luego con índices \(+1\) hay uno solo). Fuera de eso, puede haber múltiples equilibrios.
Estabilidad: el tâtonnement walrasiano \(\dot p=z(p)\) converge globalmente al equilibrio bajo sustitutos brutos (Arrow–Block–Hurwicz). Pero Scarf (1960) construyó un ejemplo con equilibrio inestable: el tâtonnement orbita y nunca llega.
El golpe de gracia — Sonnenschein–Mantel–Debreu (SMD, 1972–74): la demanda excedente agregada puede ser casi cualquier función que respete continuidad, homogeneidad grado 0 y Ley de Walras. La racionalidad individual no se hereda al agregado. Consecuencia demoledora: en general no hay garantía de unicidad ni de estabilidad. "Existe el equilibrio" es casi todo lo que la teoría puede prometer con generalidad. Este es el puente natural hacia la crítica heterodoxa del IIEc — el aparato más elegante del mainstream contiene, en su propio corazón, su límite.
16 h. Aquí el aparato de la Unidad 2 se rompe: cuando faltan mercados o la información es asimétrica, el equilibrio competitivo deja de ser Pareto-óptimo (el FWT falla). Es el aterrizaje del curso y, no por casualidad, el terreno donde vive tu tesis sobre Fintech.
Externalidad: la acción de un agente entra en la utilidad/tecnología de otro sin pasar por un precio. El equilibrio competitivo es ineficiente porque falta el mercado de la externalidad. Soluciones:
Bien público (no rival, no excluible). La condición de eficiencia es de Samuelson:
$$\sum_{i=1}^{I} MRS^i_{G,x} \;=\; MRT_{G,x}$$
La suma (no el individual) de las tasas marginales de sustitución iguala la tasa marginal de transformación — porque todos consumen la misma unidad del bien público. El mercado descentralizado provoca free-riding (subprovisión). El equilibrio de Lindahl (precios personalizados) restaura la eficiencia en teoría, pero es no implementable por la misma asimetría de información que lo haría necesario.
Akerlof, "The Market for Lemons" (1970): el vendedor conoce la calidad, el comprador no. El precio único expulsa a los buenos productos; en el límite el mercado se colapsa (unraveling). Modelo mínimo que debes saber montar: distribución de calidades, disposición a pagar = calidad esperada condicional a las que quedan en el mercado, y el punto fijo que colapsa hacia la peor calidad.
La acción (esfuerzo) del agente no es observable. Tras firmar el contrato, el agente elige esfuerzo que le conviene, no el pactado. El seguro cambia el comportamiento asegurado.
El principal diseña un contrato \(w(\cdot)\) para inducir al agente a actuar en su interés, sujeto a dos restricciones que debes saber escribir:
El contrato óptimo con acción oculta traslada riesgo al agente (pago ligado al resultado) y por eso es de segundo óptimo: se sacrifica reparto eficiente de riesgo para dar incentivos.
Spence (1973): el informado (trabajador) manda una señal costosa (educación) creíble solo si es más barata para el tipo alto. Rothschild–Stiglitz: el desinformado (aseguradora) diseña un menú que separa tipos por autoselección; puede no existir equilibrio de agrupación (pooling).
El programa pide demostraciones y el profesor es matemático. Esta es tu lista mínima de pruebas reproducibles de memoria. Practica escribirlas a mano, sin apuntes, contra reloj.
| Demostración | Idea central | Prioridad |
|---|---|---|
| Ley de Walras \(p\cdot z(p)=0\) | Sumar restricciones presupuestales con igualdad (no saciedad local). | Debe saberse |
| Homogeneidad grado 0 de la demanda | Escalar \((p,w)\) no cambia el conjunto presupuestal. | Debe saberse |
| Primer Teorema del Bienestar | Contradicción con desigualdades de precio + no saciedad local. | Debe saberse |
| Segundo Teorema del Bienestar | Separación de convexos (Minkowski) ⇒ precios que descentralizan. | Núcleo |
| Existencia (arquitectura Brouwer/Kakutani) | \(z\) continua, homogénea, Ley de Walras ⇒ punto fijo en el símplex. | Núcleo |
| Condición de Samuelson (bien público) | Optimización social: \(\sum MRS=MRT\). | Núcleo |
| Representación por utilidad continua (Debreu) | Continuidad + orden completo ⇒ existe \(u\) continua. | Enunciar + idea |
| Enunciados de Brouwer, Kakutani, Berge, Weierstrass | Saber hipótesis exactas y para qué se invoca cada uno. | Debe saberse |
La bibliografía oficial es larga, dispar y con textos obsoletos u obscuros. No la leas linealmente. Prioriza así:
Mas-Colell, Whinston & Green — Microeconomic Theory (MWG, 1995), el estándar moderno. Aunque el temario lo enlista sin destacarlo, es tu texto central:
| Tipo | Cómo se prepara | Error fatal |
|---|---|---|
| Teóricas | Fichas de una cara: concepto, autor, año, "por qué importa". Practica explicar por qué falla el conteo de Walras y qué dice SMD. | Recitar sin el "por qué" epistemológico. |
| Numéricas | Resuelve 10–15 problemas: caja de Edgeworth 2×2, EG con Cobb–Douglas, chequear sustitutos brutos, Samuelson, limones. | No haber calculado ni un equilibrio a mano. |
| Demostraciones | El arsenal de §5, escrito de memoria, contra reloj. Repetición hasta que fluya. | Hand-waving. "Existe porque oferta = demanda" es cero puntos. |
El programa exige entregar un porcentaje alto de tareas como requisito para presentar examen. No son opcionales: son tu boleto de entrada. Trátalas como obligatorias desde la semana 1.
| Semanas | Foco | Entregable tangible |
|---|---|---|
| 1–2 | Puente matemático (§1). Topología, compacidad, correspondencias, Brouwer/Kakutani/Berge. En paralelo con Mates I U3/U6. | Hoja de teoremas con "lo uso en Micro para ___". |
| 3–5 | Unidad 1. Historia de Viena + epistemología. Lecturas Weintraub/Blaug. | Línea de tiempo anotada Menger→Arrow-Debreu; 1 página sobre "por qué el conteo de Walras falla". |
| 6–10 | Unidad 2. Consumidor, productor, bienestar, existencia, SMD. MWG 15–17 + Debreu. | FWT y SWT escritos de memoria; arquitectura de existencia; ficha de SMD. |
| 11–14 | Unidad 3. Externalidades, bienes públicos, información asimétrica. MWG 11, 13, 14. | Modelo de limones resuelto; principal–agente con IR+IC; puente con la tesis. |
| 15–16 | Consolidación. Simulacros de examen de los 3 tipos; reescribir el arsenal de §5 sin apuntes. | 2 exámenes simulados cronometrados. |
Ajusta las semanas al calendario real del semestre; la lógica (puente mate → historia → núcleo AD → fallos) no cambia.